摘要：微納米顆粒是生物膜流變的測量探針及藥物輸運(yùn)的載體，研究微納米顆粒在膜上的流體力學(xué)阻力及擴(kuò)散行為具有重要科學(xué)意義。已有研究針對嵌入膜內(nèi)且與膜厚度相同的圓柱體（比擬單個(gè)磷脂/蛋白質(zhì)分子）阻力系數(shù)開展研究，是一個(gè)二維流體力學(xué)問題。球形顆粒穿透膜伸入水相中，受力更加復(fù)雜。近幾年，有研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)微米顆粒在純水–空氣界面上做布朗擴(kuò)散時(shí)，阻力系數(shù)有分子熱運(yùn)動引起的界面擾動的貢獻(xiàn)，這部分阻力與表面張力成正比。本論文在亞微米顆粒–單層生物膜界面實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了類似現(xiàn)象。

考慮到生物膜與純水界面的不同力學(xué)特性及亞微米顆粒尺度，本文對表面張力進(jìn)行了修正：一是加入膜的Maxwell黏彈性項(xiàng)，二是加入熱力學(xué)毛細(xì)波波數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而區(qū)分微觀分子納米尺度與宏觀尺度下表面張力的不同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：由阻力系數(shù)擬合得到的熱力學(xué)毛細(xì)波波長恰好等于膜內(nèi)磷脂分子間的平均間距，符合界面熱力學(xué)擾動理論的描述；此外，當(dāng)顆粒與膜內(nèi)微米磷脂凝聚區(qū)域粘連時(shí)，粘連體整體所受的阻力幾乎全部源自于凝聚區(qū)域，水相及膜內(nèi)對顆粒施加的阻力貢獻(xiàn)極小。

引言

微納米顆粒在膜上的流體力學(xué)阻力與布朗擴(kuò)散組成了界面水動力學(xué)的基本模型系統(tǒng)。微納米顆粒布朗運(yùn)動的擴(kuò)散系數(shù)、阻力系數(shù)與膜的黏度、黏彈性等流變性質(zhì)密切相關(guān)，因此微納米顆粒可作為生物膜流變性的測量探針。相比于剪切流變儀，單個(gè)粒子跟蹤測量方法具有頻率分布廣、靈敏度高等優(yōu)勢。此外，將微納米顆粒作為生物膜藥物運(yùn)輸?shù)妮d體已成為一種新興醫(yī)療手段，廣泛應(yīng)用于癌癥等疾病治療。

nmε=r(μ1+μ2)/ηmf=4πηm/ln(2/εγ)D=kBT/f評估藥物輸運(yùn)效率需清楚認(rèn)識顆粒沿膜界面的擴(kuò)散運(yùn)動機(jī)理及流體力學(xué)規(guī)律。最早關(guān)于顆粒在膜界面上的水動力學(xué)理論由Saffman提出。Saffman討論了嵌入在膜內(nèi)且與膜厚度相同的圓柱體阻力系數(shù)模型，作為膜內(nèi)單個(gè)磷脂/蛋白質(zhì)分子運(yùn)動的水動力學(xué)模型。在水動力學(xué)和Staffman理論中，膜被視為無限大平面鋪展的黏性液體，介于其他兩種液體界面之間。

Navier–Stokes方程對膜內(nèi)流場的刻畫有別于普通流體：首先，膜由一層或兩層磷脂分子構(gòu)成，厚度為2～5，理論假設(shè)膜內(nèi)垂直方向上的剪切速率與其他物理量的梯度為0，因此膜內(nèi)流場問題是一個(gè)二維流體力學(xué)問題；其次，膜雖可被壓縮，但其壓應(yīng)力波的波速遠(yuǎn)大于顆粒布朗運(yùn)動的速度，因此可近似視為不可壓縮流體。這些限制條件皆增加了求解顆粒阻力系數(shù)的難度。Saffman理論使用了2個(gè)條件（磷脂分子半徑極??；膜黏度遠(yuǎn)大于液體黏度），忽略了兩側(cè)液體對圓柱體上下表面施加的剪切力，得到了阻力系數(shù)關(guān)于顆粒無量綱尺寸的一階近似解析解，再由愛因斯坦關(guān)系可得到圓柱的擴(kuò)散系數(shù)。

ηmγrkBTμ1μ2ε式中：為膜的二維黏度，代表了磷脂分子整個(gè)膜厚度的總體黏滯阻力效應(yīng)，因此其單位在常規(guī)黏度單位的基礎(chǔ)上乘以了長度，即Pa·s·m；為歐拉常數(shù)；為圓柱半徑；為玻爾茲曼常數(shù)；為溫度；、分別為膜兩側(cè)液體的黏度。Saffman理論對于半徑大于膜厚度的顆粒（如半徑幾微米的磷脂凝聚顆粒）并不適用。Hughes等在Saffman理論基礎(chǔ)上加入了兩側(cè)液體對圓柱體上下表面的切向力，即為HPW模型，進(jìn)而討論了非無窮小下的阻力系數(shù)，但未給出解析解。Petrov等隨后給出了HPW模型較為準(zhǔn)確的近似解析解，并擬合實(shí)驗(yàn)測量的膜內(nèi)凝聚區(qū)域的擴(kuò)散系數(shù)，得到磷脂膜二維黏度的量級為10?10～10?9 Pa·s·m。ηmU/γm?1UγmBo=1/εf(Bo)三維球形顆粒穿透膜浸入到液體中的受力問題，較膜內(nèi)圓柱體二維受力問題更為復(fù)雜。Danov等數(shù)值計(jì)算了顆粒在膜上的運(yùn)動，假設(shè)顆粒做布朗運(yùn)動，毛細(xì)數(shù)（為顆粒速度，為膜表面張力），膜未發(fā)生變形始終保持平展，計(jì)算中膜可視作可壓縮流體。

Fischer等改進(jìn)了Danov的理論，將膜改正為不可壓縮流體，且在膜內(nèi)流場中加入了表面張力梯度項(xiàng)—Marangoni效應(yīng)，給出了Boussinesq數(shù)極大與極小值的顆粒阻力系數(shù)漸進(jìn)解。Stone等討論了單層膜系統(tǒng)（膜兩側(cè)分別為空氣與水），將球形顆粒受力分解為膜內(nèi)接觸線阻力與水相浸沒阻力兩部分，前者即為Saffman理論或HPW模型得到的結(jié)果。Stone等利用理論分析的方法，以Saffman理論結(jié)果為零階值，給出了阻力系數(shù)關(guān)于顆粒浸沒率的一階近似解，與精確數(shù)值計(jì)算結(jié)果誤差小于5%。早期有實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)顆粒在單層膜上的布朗運(yùn)動阻力系數(shù)明顯大于Fischer與Stone等的理論預(yù)測?FL(0)FL(t)?dtFLt值。

2015年，Boniello等提出了界面顆粒布朗運(yùn)動動力學(xué)理論，認(rèn)為顆粒做布朗運(yùn)動時(shí)，界面在液體分子熱運(yùn)動的作用下產(chǎn)生微小擾動進(jìn)而發(fā)生變形，變形幅度僅為液面單個(gè)分子尺寸，除水動力學(xué)的阻力外，顆粒還受到了來源于變形界面的表面張力。這種界面擾動稱作“熱力學(xué)毛細(xì)波”。顆粒的總阻力系數(shù)，前者為水動力學(xué)阻力系數(shù)，后者為表面張力阻力系數(shù)。結(jié)合熱力學(xué)擾動耗散定理，為顆粒受到的瞬時(shí)表面張力，為時(shí)間。

fcBoniello的理論目前僅在純水界面與幾十微米尺寸的顆粒實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證。本文實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其同樣適用于亞微米顆粒實(shí)驗(yàn)，但需考慮到單層膜具有與純水界面不同的力學(xué)性質(zhì)和亞微米尺度，二者皆體現(xiàn)在表面張力上。首先，膜為黏彈性非牛頓流體，其液面表面張力需考慮黏彈性效應(yīng)，尤其是在熱力學(xué)毛細(xì)波109 Hz量級高頻振蕩物理?xiàng)l件下；其次，微納米尺度下的表面張力值通常不同于宏觀尺度下的值，表面張力中含有額外熱力學(xué)毛細(xì)波波數(shù)項(xiàng)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在低密度、均勻相的膜上，由表面張力阻力系數(shù)擬合得到的熱力學(xué)毛細(xì)波波長約等于膜內(nèi)磷脂分子間的平均間距，符合界面熱力學(xué)擾動理論的描述。在高密度、相分離的膜上，顆粒與微米凝聚相粘連，粘連體整體所受阻力幾乎全部源自于微米凝聚相。